Finite Mathematik Beispiele

$- 6 x - 10 y = 7$ , $- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1

Löse in $- 6 x - 10 y = 7$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $10 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x = 7 + 10 y$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = 7 + 10 y$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = 7 + 10 y$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $- 6$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{2 (5 y)}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{2 (5 y)}{2 (- 3)}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot - 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{5 y}{- 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{5 y}{- 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{5 y}{- 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $- 10 x - 3 y = 1$ durch $- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$ .

$- 10 (- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $- 10 (- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}) - 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- \frac{7}{6}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{6}$ in den Zähler.

$- 10 (\frac{- 7}{6}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$2 (- 5) (\frac{- 7}{6}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot (- 5 \frac{- 7}{2 \cdot 3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (- 5 \frac{- 7}{2 \cdot 3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- 5 (\frac{- 7}{3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 5 (\frac{- 7}{3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{- 7}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot - 7}{3} - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 7$ .

$\frac{35}{3} - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.5

Multipliziere $- 10 (- \frac{5 y}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$\frac{35}{3} + 10 (\frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Kombiniere $10$ und $\frac{5 y}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{10 (5 y)}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y \cdot \frac{3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $- 3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} + \frac{- 3 y \cdot 3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35}{3} + \frac{50 y - 3 y \cdot 3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35 + 50 y - 3 y \cdot 3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{35 + 50 y - 9 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Subtrahiere $9 y$ von $50 y$ .

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{35 + 41 y}{3} = 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{35 + 41 y}{3} \cdot 3 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{35 + 41 y}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35 + 41 y}{3} \cdot 3 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$35 + 41 y = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$35 + 41 y = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $35$ und $41 y$ um.

$41 y + 35 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$41 y + 35 = 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $35$ von beiden Seiten der Gleichung.

$41 y = 3 - 35$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $35$ von $3$ .

$41 y = - 32$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y = - 32$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $41 y = - 32$ durch $41$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $41 y = - 32$ durch $41$ .

$\frac{41 y}{41} = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $41$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{41 y}{41} = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{32}{41}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$ durch $- \frac{32}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 (- \frac{32}{41})}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{7}{6} - \frac{5 (- \frac{32}{41})}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{- 5 (\frac{32}{41})}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{32}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{\frac{- 5 \cdot 32}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{\frac{- 5 \cdot 32}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $32$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{\frac{- 160}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{6} - \frac{- \frac{160}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{7}{6} - (- \frac{160}{41} \cdot \frac{1}{3})$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.5

Multipliziere $- \frac{160}{41} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{160}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{3 \cdot 41}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $41$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.6

Multipliziere $- - \frac{160}{123}$ .

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Schritt 4.2.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - \frac{7}{6} + 1 (\frac{160}{123})$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{160}{123}$ mit $1$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.2

Um $- \frac{7}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{41}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} \cdot \frac{41}{41} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.3

Um $\frac{160}{123}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{7}{6} \cdot \frac{41}{41} + \frac{160}{123} \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $246$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{7}{6}$ mit $\frac{41}{41}$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{6 \cdot 41} + \frac{160}{123} \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $41$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160}{123} \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{160}{123}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160 \cdot 2}{123 \cdot 2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.4.4

Mutltipliziere $123$ mit $2$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 7 \cdot 41 + 160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $41$ .

$x = \frac{- 287 + 160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.6.2

Mutltipliziere $160$ mit $2$ .

$x = \frac{- 287 + 320}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.6.3

Addiere $- 287$ und $320$ .

$x = \frac{33}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{33}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $33$ und $246$ .

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Schritt 4.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $33$ heraus.

$x = \frac{3 (11)}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $246$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 82}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 82}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 4.2.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{11}{82}, - \frac{32}{41})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{11}{82}, - \frac{32}{41})$

Gleichungsform:

$x = \frac{11}{82}, y = - \frac{32}{41}$

Schritt 7